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Computer Composition Review Ch2 运算方法和运算器

Table of Contents

2.1 数据和文字的表示方法

2.1.1 数据格式

  • 定点数
    • 表示成纯小数/纯整数
      • 形式：xn xn−1 xn−1 … x1 x0x_n \ x_{n-1} \ x_{n-1} \ \dots \ x_1 \ x_0
        • xnx_n 为符号
        • xn−1 xn−1 … x1 x0x_{n-1} \ x_{n-1} \ \dots \ x_1 \ x_0 为量值（尾数）
    • 纯小数
      • 小数点在 xnx_n 和 xn−1x_{n-1} 之间
      • 0<∣x∣<1−2−n0 < |x| < 1-2^{-n}
    • 纯整数
      • 小数点在 x0x_0 右边
      • 0<∣x∣<2n−10<|x|<2^n-1
  • 浮点数
    • 浮点数表示法
      • 十进制 N=10E.MN=10^E.M
      • 二进制 N=2e.MN=2^e.M
      • 尾数 MM
      • 指数 EE
    • 机器浮点数标识
      • Es ∣ Em−1 … E1 E0 ∣ Ms ∣ Mn−1 … M1 M0E_s \ | \ E_{m-1} \ \dots \ E_1 \ E_0 \ | \ M_s \ | \ M_{n-1} \ \dots \ M_1 \ M_0
        • EsE_s : 阶符，指数正负
        • Em−1 … E1 E0E_{m-1} \ \dots \ E_1 \ E_0 : 阶码，指数
        • MsM_s : 数符，浮点数正负
        • Mn−1 … M1 M0M_{n-1} \ \dots \ M_1 \ M_0 : 尾数

2.1.2 机器码表示

  • 正整数
    • 原码=反码=补码
  • 负整数
    • 反码=原码取反（不包括符号位）
    • 补码=反码+1
  • 0 表示
    • 原码
      • 00000000
      • 10000000
    • 反码
      • 00000000
      • 11111111
    • 补码
      • 00000000
      • 0 在补码表示法中有唯一的表示
  • 移码表示
    • 符号位与原反补码相反
      • 1 为正
      • 0 为负
    • [e]移=2k+e, 2k>e≥−2k[e]_移=2^k+e,\ 2^k>e \geq -2^k
      • ee 为真值
      • 2k2^k 为固定的偏移值常数（kk 为阶码位数）
  • 浮点数机器表示
    • 32 位短浮点数
      • 符号 SS ：1 位
      • 阶码 EE ：8 位
      • 尾数 MM：23 位
      • 指数偏移值：127
    • 64 位长浮点数
      • 符号 SS ：1 位
      • 阶码 EE ：11 位
      • 尾数 MM：52 位
      • 指数偏移值：1023
    • 浮点数规格化表示
      • x=(−1)S×(1.M)×2E−偏移常数, e=E−偏移常数x=(-1)^S \times (1.M) \times 2^{E-偏移常数}, \ e = E-偏移常数

2.1.3 字符与字符串表示

  • 字符
    • ASCII
    • 8 位，最高位为 0
  • 字符串
    • 存在主存中连续的多字节

2.1.4 汉字表示

  • 输入编码（输入）
    • 数字编码
      • 区位码（94 个区，94 位，二维数组）
    • 拼音码
    • 字形编码
      • 笔画顺序
  • 汉字内码（内部处理）

    2.字节最高为均为 1，与英文字符进行区别

    • 若最高位用于奇偶校验位，则使用 3 字节
  • 汉字字模码（输出）
    • n x n 的点阵

2.1.5 校验码

  • 奇校验位 C‾\overline C
    • C‾=x0⊕x1⊕⋯⊕xn−1\overline C=x_0 \oplus x_1 \oplus \dots \oplus x_{n-1}
    • X 中包含奇数个 1 时, C‾=1\overline C = 1
  • 偶校验位 CC
    • C=x0⊕x1⊕⋯⊕xn−1C=x_0 \oplus x_1 \oplus \dots \oplus x_{n-1}
    • X 中包含偶数个 1 时, C=1C = 1
  • 奇偶校验进提供奇数个错误检测，无法检测偶数个错误，也无法定位错误位置。

2.2 定点加法、减法运算

2.2.1 补码加法

  • 补码相加，结果再转回原码。

2.2.2 补码减法

  • 将减数转成负数后进行加法运算（补码加法）。
    • [x]补−[y]补=[x]补+[−y]补[x]_补 - [y]_补 = [x]_补 + [-y]_补

2.2.3 溢出及检测

  • 溢出
    • 运算过程中，出现大于字长绝对值的现象。
    • 正溢
      • 大于机器字长能表示的最大正数。
    • 负溢
      • 小于机器字长能表示的最小负数。
  • 变形补码
    • 双符号位
      • 00→01
        • 正溢出
      • 11→10
        • 负溢出

2.2.4 基本二进制加法/减法器

  • Si=Ai⊕Bi⊕CiS_i = A_i \oplus B_i \oplus C_i
  • Ci+1=AiBi+BiCi+CiAiC_{i+1} = A_iB_i+B_iC_i+C_iA_i

2.3 定点乘法运算

  • 乘法运算
    • 与十进制一样
      • 每位依次与另一个乘数相乘再相加。
  • 不带符号的阵列乘法器
    • 组成部分
      • 加法器
      • 移位器
    • 对于两个n位数的乘法
      • 需要的全加器 n(n−1)n(n-1)
      • 需要的与门 n2n^2
  • 带符号的阵列乘法器
    • 符号扩展求补器
    • 不带符号的乘法阵列
    • 溢出处理求补器

2.4 定点除法运算

  • 基础运算与十进制一样
    • 恢复余数法
    • 加减交替法

2.5 定点运算器的组成

2.5.1 逻辑运算

  • 逻辑非
    • 按位取反
    • 01001011→1011010001001011 \rightarrow 10110100
  • 逻辑加/或 ++
    • 10100001+10011011=1011101110100001 + 10011011 = 10111011
  • 逻辑乘/与 ⋅\cdot
    • 10111001⋅11110011=1011000110111001 \cdot 11110011 = 10110001
  • 逻辑异/按位加 ⊕\oplus
    • 10101011⊕11001100=0110011110101011 \oplus 11001100 = 01100111

2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元 ALU

  • 使用不同的控制参数得到不同的组合函数，实现多种算术运算和逻辑运算。
    • Fi=Xi⊕Yi⊕Cn+iF_i = X_i \oplus Y_i \oplus C_{n+i}
    • Cn+i=1=XiYi+YiCn+i+Cn+iXiC_{n+i=1} = X_iY_i+Y_iC_{n+i} + C_{n+i}X_i

2.6 浮点运算方法和浮点运算器

2.6.1 浮点加减法

  • z=x±y=(Mx2Ex−Ey±My)2Ey, Ex≤Eyz = x \pm y = (M_x2^{E_x - E_y} \pm M_y)2^{E_y}, \ E_x \leq E_y
    • x=2Ex⋅Mxx = 2^{E_x} \cdot M_x
    • y=2Ey⋅Myy = 2^{E_y} \cdot M_y
  • 计算流程
    • 0 操作数检查
      • 检查是否有 0 只，节省运算时间。
    • 比较阶码大小并完成对阶
      • 小数点位置是否对齐。
      • 小阶向大阶看齐。
        • 小数点左移一位，阶码+1
    • 尾数加减运算
    • 结果规格化
      • 结果溢出
      • 向右规格化
      • 向左规格化
    • 舍入处理
      • 尾数右移，最低位会被丢掉，造成误差。
      • 就近舍入
        • 四舍五入
      • 朝 00 舍入
        • 简单截尾
      • 朝 +∞+ \infty 舍入
        • 正数
          • 多余位不全为 0，则向最低有效位进 1.
        • 负数
          • 简单截尾
      • 朝 −∞- \infty 舍入
        • 负数
          • 多余位不全为 0，则向最低有效位进 1.
        • 正数
          • 简单截尾
    • 溢出处理
      • 阶码上溢
        • 超过阶码能表示的最大值的正指数值，将其认为 +∞+\infty 和 −∞-\infty。
      • 阶码下溢
        • 超过阶码能表示的最小值的负指数值，将其认为 0。
      • 尾数上溢
        • 最高位有进位，尾数右移，阶码+1 重新对齐。
      • 尾数下溢
        • 尾数右移，最低有效位进行舍入处理。

2.6.2 浮点乘除法

  • x×y=2(Ex+Ey)⋅(Mx×My)x \times y = 2^{(E_x+E_y)} \cdot (M_x \times M_y), x÷y=2(Ex−Ey)⋅(Mx÷My)x \div y = 2^{(E_x-E_y)} \cdot (M_x \div M_y)
    • x=2Ex⋅Mxx = 2^{E_x} \cdot M_x
    • y=2Ey⋅Myy = 2^{E_y} \cdot M_y
  • 计算步骤
    • 浮点数的阶码运算
      • 指数相加并用移码表示
      • Ex+EyE_x + E_y
    • 尾数相乘
  • Example
    • R=10, x=10Ex×Mx=102×0.4, y=10Ey×My=103×0.2R=10, \ x = 10^{E_x} \times M_x = 10^2 \times 0.4, \ y = 10^{E_y} \times M_y = 10^3 \times 0.2
    • x×y=102+3×(0.4×0.2)=8000x \times y = 10^{2+3} \times (0.4 \times 0.2) = 8000
    • x÷y=102−3×(0.4÷0.2)=0.2x \div y = 10^{2-3} \times (0.4 \div 0.2) = 0.2

2.6.3 浮点运算流水线?

2.2 定点加法、减法运算

  • 2.2.1 补码加法
    • 补码相加，结果再转回原码。
  • 2.2.2 补码减法
    • 将减数转成负数后进行加法运算（补码加法）。
      • [x]补−[y]补=[x]补+[−y]补[x]_补 - [y]_补 = [x]_补 + [-y]_补
  • 2.2.3 溢出及检测
    • 溢出
      • 运算过程中，出现大于字长绝对值的现象。
      • 正溢
        • 大于机器字长能表示的最大正数。
      • 负溢
        • 小于机器字长能表示的最小负数。
    • 变形补码
      • 双符号位
        • 00→01
          • 正溢出
        • 11→10
          • 负溢出
  • 2.2.4 基本二进制加法/减法器
    • Si=Ai⊕Bi⊕CiS_i = A_i \oplus B_i \oplus C_i
    • Ci+1=AiBi+BiCi+CiAiC_{i+1} = A_iB_i+B_iC_i+C_iA_i

2.3 定点乘法运算

  • 乘法运算
    • 与十进制一样
      • 每位依次与另一个乘数相乘再相加。
  • 不带符号的阵列乘法器
    • 组成部分
      • 加法器
      • 移位器
    • 对于两个n位数的乘法
      • 需要的全加器 n(n−1)n(n-1)
      • 需要的与门 n2n^2
  • 带符号的阵列乘法器
    • 符号扩展求补器
    • 不带符号的乘法阵列
    • 溢出处理求补器

2.4 定点除法运算

  • 基础运算与十进制一样
    • 恢复余数法
    • 加减交替法

2.5 定点运算器的组成

  • 2.5.1 逻辑运算
    • 逻辑非
      • 按位取反
      • 01001011→1011010001001011 \rightarrow 10110100
    • 逻辑加/或 ++
      • 10100001+10011011=1011101110100001 + 10011011 = 10111011
    • 逻辑乘/与 ⋅\cdot
      • 10111001⋅11110011=1011000110111001 \cdot 11110011 = 10110001
    • 逻辑异/按位加 ⊕\oplus
      • 10101011⊕11001100=0110011110101011 \oplus 11001100 = 01100111
  • 2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元 ALU
    • 使用不同的控制参数得到不同的组合函数，实现多种算术运算和逻辑运算。
      • Fi=Xi⊕Yi⊕Cn+iF_i = X_i \oplus Y_i \oplus C_{n+i}
      • Cn+i=1=XiYi+YiCn+i+Cn+iXiC_{n+i=1} = X_iY_i+Y_iC_{n+i} + C_{n+i}X_i

2.6 浮点运算方法和浮点运算器

  • 2.6.1 浮点加减法 { #3c1010b6-8af8-a6f9}

    • z=x±y=(Mx2Ex−Ey±My)2Ey, Ex≤Eyz = x \pm y = (M_x2^{E_x - E_y} \pm M_y)2^{E_y}, \ E_x \leq E_y
      • x=2Ex⋅Mxx = 2^{E_x} \cdot M_x
      • y=2Ey⋅Myy = 2^{E_y} \cdot M_y
    • 计算流程
      • 0 操作数检查
        • 检查是否有 0 只，节省运算时间。
      • 比较阶码大小并完成对阶
        • 小数点位置是否对齐。
        • 小阶向大阶看齐。
          • 小数点左移一位，阶码+1
      • 尾数加减运算
      • 结果规格化
        • 结果溢出
        • 向右规格化
        • 向左规格化
      • 舍入处理
        • 尾数右移，最低位会被丢掉，造成误差。
        • 就近舍入
          • 四舍五入
        • 朝 00 舍入
          • 简单截尾
        • 朝 +∞+ \infty 舍入
          • 正数
            • 多余位不全为 0，则向最低有效位进 1.
          • 负数
            • 简单截尾
        • 朝 −∞- \infty 舍入
          • 负数
            • 多余位不全为 0，则向最低有效位进 1.
          • 正数
            • 简单截尾
      • 溢出处理
        • 阶码上溢
          • 超过阶码能表示的最大值的正指数值，将其认为 +∞+\infty 和 −∞-\infty。
        • 阶码下溢
          • 超过阶码能表示的最小值的负指数值，将其认为 0。
        • 尾数上溢
          • 最高位有进位，尾数右移，阶码+1 重新对齐。
        • 尾数下溢
          • 尾数右移，最低有效位进行舍入处理。

  • 2.6.2 浮点乘除法

    • x×y=2(Ex+Ey)⋅(Mx×My)x \times y = 2^{(E_x+E_y)} \cdot (M_x \times M_y), x÷y=2(Ex−Ey)⋅(Mx÷My)x \div y = 2^{(E_x-E_y)} \cdot (M_x \div M_y)
      • x=2Ex⋅Mxx = 2^{E_x} \cdot M_x
      • y=2Ey⋅Myy = 2^{E_y} \cdot M_y
    • 计算步骤
      • 浮点数的阶码运算
        • 指数相加并用移码表示
        • Ex+EyE_x + E_y
      • 尾数相乘
    • Example
      • R=10, x=10Ex×Mx=102×0.4, y=10Ey×My=103×0.2R=10, \ x = 10^{E_x} \times M_x = 10^2 \times 0.4, \ y = 10^{E_y} \times M_y = 10^3 \times 0.2
      • x×y=102+3×(0.4×0.2)=8000x \times y = 10^{2+3} \times (0.4 \times 0.2) = 8000
      • x÷y=102−3×(0.4÷0.2)=0.2x \div y = 10^{2-3} \times (0.4 \div 0.2) = 0.2

  • 2.6.3 浮点运算流水线?

Computer Composition Review Ch1 概论
Computer Composition Review Ch3 存储系统